steinitzova věta o výměně

Při studiu lineární algebry se setkáte s mnoha tvrzeníčky, které dohromady tvoří vlastně veškerou vaši znalost lineární algebry. Velkých vět mnoho není, jedna však vyčnívá a je poměrně důležitá.

Vektorový prostor nad nějakým tělesem je nějaká množina vektorů, neboli čehokoli, s čím se dají dělat nějaké operace. Prostory můžeme nějak dále zkoumat a využít je všude možně (na Matfyzu se však většinou točíme výhradně kolem matic).

Často nás zajímá, jestli existuje nějaká množina vektorů, která generuje celý náš prostor. Tyto vektory nazveme generátory a umíme pomocí nic vyjádřit jakýkoli vektor v tomto prostoru jako jejich lineární kombinaci. Takovou množinu vektorů nazveme systém generátorů.

Tak třeba prostor $\mathbb{R}^3$ má systém generátorů

• $\{(0,0,1)^T, (0,1,0)^T, (1,0,0)^T\}$, ale i
• $\{(0,0,2)^T, (0,2,0)^T, (2,0,0)^T\}$ nebo
• $\{(0,0,1)^T, (0,2,0)^T, (3,0,0)^T, (1,2,3)^T\}$ a taky
• $\{(0,0,1)^T, (0,0,3)^T, (0,3,0)^T, (3,2,1)^T\}$.

Na první pohled je zřejmé, že všechny generují celý prostor $\mathbb{R}^3$. První dva systémy generátorů jsou dokonce (po dvou) lineárně nezávislé, tedy jediná lineární kombinace, která dá nulový vektor, je ta, kde jsou všechny koeficienty nulové. Třetí a čtvrtý lineárně nezávislé nejsou. Lineárně nezávislým systémům generátorů se říká báze a každý prostor ji má ¹.

Steinitzova věta nám pomůže s důkazem důležitého tvrzení, a to toho, že všechny báze mají stejnou velikost. Dokažme nejdříve malé lemma, takzvané Lemma o výměně:

Buď $g_1,\dots,g_n$ systém generátorů vektorového prostoru $V$ nad tělesem $T$ a buď vektor $x = \sum_{i=1}^n \alpha_i g_i$. Pak pro nějaké $k$ od $1$ do $n$ takové, že $\alpha_k \neq 0$ je $g_1,\dots,g_{k-1},x, g_{k+1}, \dots, g_n$ znovu systém generátorů.

Vezmeme libovolný vektor $y$ a ukážeme, že ho umíme vyjádřit pomocí "vyměněného" systému generátorů. Pro nějaké koeficienty $\beta_i$ ho můžeme vyjádřit jako $y = \sum_{i=1}^n \beta_i g_i = \beta_k g_k + \sum_{i \neq k} \beta_i g_i$.

Výraz $\beta_k g_k$ je vektor, který vyměňujeme. Protože $x = \sum_{i=1}^n \alpha_i g_i$, můžeme $\beta_k g_k$ vyjádřit jako $\frac{\beta_k}{\alpha_k}(x - \sum_{i \neq k} \alpha_i g_i)$. Pak vyjádříme $y$ jako

$$ \begin{align} y &= \beta_k g_k + \sum_{i \neq k} \beta_i g_i \\ &= \frac{\beta_k}{\alpha_k}(x - \sum_{i \neq k} \alpha_i g_i) + \sum_{i \neq k} \beta_i g_i \\ &= \frac{\beta_k}{\alpha_k}x + \sum_{i \neq k} (\beta_i - \frac{\beta_k}{\alpha_k}\alpha_i)g_i \end{align} $$

V kroku (1) jsme vyhodili $k$-tý vektor (ten, který budeme vyměňovat) ze sumy. Poté vyjádřili a následně sjednotili obě sumy. Tím jsme vyjádřili $y$ pomocí "vyměněného" systému generátorů a je to tedy opravdu systém generátorů. $\square$

Pomocí Lemmatu můžeme již dokázat samotnou Steinitzovu větu. Ta zní:

Buďte $x_1,\dots,x_k$ lineárně nezávislé vektory a $g_1,\dots,g_n$ systém generátorů vektorového prostoru $V$ nad tělesem $T$. Pak platí, že

1. $k \leq n$
2. a $k$ vektorů z $g_1,\dots,g_n$ můžeme nahradit vektory $x_1,\dots,x_k$ tak že $x_1,\dots,x_k, g_{i_1}, \dots, g_{i_{n-k}}$ je znovu systém generátorů.

Důkaz provedeme indukcí podle počtu lineárně nezávislých vektorů $k$. Pro $k=0$ tvrzení platí triviálně. Předpokládáme tedy, že platí pro $k-1$ a ukážeme, že Věta platí pro $k$.

Podívejme se na lineárně nezávislé vektory $x_1,\dots,x_{k-1}$. Podle indukčního předpokladu platí $m-1 \leq k$ a existují různé indexy $i_1,\dots,i_{n-k+1}$ takové, že $x_1,\dots,x_{k-1}, g_{i_1}, \dots, g_{i_{n-k+1}}$ je znovu systém generátorů. Kdyby $k-1 = n$, pak by ale vektory $x_1,\dots,x_{k-1}$ prostor $V$ generovaly. Pak bychom ale vektor $x_k$ mohli vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů $x_1,\dots,x_{k-1}$, což je spor s lineární nezávislostí vektorů $x_1,\dots,x_k$. Z toho tedy plyne $k \leq m$.

Dokažme druhou část věty. Pokusíme se zbývající vektor $x_k$ vyjádřit jako lineární kombinaci $\sum_{i=1}^{k-1}\alpha_i x_i + \sum_{j=1}^{n-k+1} \beta_j g_{i_j}$, což jsou vektory z doplňovaného systému generátorů. Podíváme se na koeficienty $\alpha_i$ a $\beta_j$. Pokud jsou všechna $\beta_j$ nulová, dostaneme spor s lineární nezávislostí $x_1,\dots,x_k$ ze stejného důvodu, jako v předchozím odstavci. Existuje tedy $\beta_m \neq 0$. Podle Lemmatu o výměně tento vektor můžeme vyměnit a dostaneme znovu systém generátorů $V$. $\square$

Steinitzova věta má důležitý důsledek. Říká, že všechny báze jsou stejné velké. Pokud Větu aplikujeme na dvě báze, dostaneme $k \leq n$ a zároveň $k \leq m$, z čehož plyne rovnost. To nám dovoluje jednoznačně definovat například dimenzi prostoru nebo souřadnice vektoru vůči bázi.